Matematiğin felsefesini konu alacak olan bu araştırmada olgunun farklı, ancak birbirine bağlı yönleri ele alınmaya çalışılacaktır.İnsan denen canlı türün kültür tarihinin ilk adımlarından beri hep vardır matematik. Sayılarla, şekillerle, niceliklerle, niteliklerle ve bunların günün teknik düzeylerine göre uygulamalarıyla kültürün bir parçası olagelmiştir.
Farklı yaklaşımlar oldu matematik bilgisine. Neydi bu bilgi. Epistemolojik bir sorunsal olan bu durum, çok çeşitli ortamlarda değerlendirilmeye çaba gösterildi. Bunlardan hiçbiri, o anın toplumsal oluşumların kültür sentezlerinden bağımsız olmadı. Toplumun, yaşamanı sürdürdüğü yapılanmaların, yani ekonomik, siyasal, inançsal örgülerin, yaşama bakış tarzlarının etkisinde oldu. Saymakla bitmeyen başlıklar altında toplandı bu tartışmalar. Biçimciler, mutlakçılar, mantıkçılar, deneyciler, nesnelciler, pozitivistler, konstraktivistler v.b. gibi çok sayıda okul ele aldı tüm bu olguları. Son üçyüzyılın belirleyici paradigması içinde bu yaklaşımlar kesin çizgilerle ayrıldılar. Teknolojizmin temel stratejisi olan bu ayırımlar, gerçekten olası mıdır? İdeolojinin yeniden üretiminde bir araç olarak gerekli görülse de gerçekten ayırabilir miydik? Çatışan tarafları olduğu gibi, çakışan tarafları da yok muydu? Matematik bilgi neydi, nelerden oluşmaktaydı? Doğada yer alan, zaten oralarda var olan ve bizim keşfetmemizi bekleyen, zaman dışı, tarihsel süreçleri aşkın bir şeyler miydi onlar? Yoksa, kültürün bir parçası olarak insan türünün buluşlarından biri miydi? Özellikle sanayi devrimi ve kapitalistleşme süreciyle birlikte okullaşmanın sistematikleşmesiyle eğitim içindeki yeri ne oldu matematiğin? İdeolojinin yeniden üretiminde matematik eğitiminin tasarlanması raslansal mıydı? Matematik eğitiminin felsefesi nedir? Dersi veren kişinin inanç çizelgesi hiç mi etkilemiyordu matematiğe bakış tarzını?
Bu gibi soruları, diğer ucunu göremediğimiz bir listeye eklemeye devam edebiliriz. Tüm bu renklilik ve çeşitlilik içinde matematiği ve onun yaşamla olan bağlantılarını, hem kültürel hem de epistemolojik düzeylerde temel birkaç başlık altında toplamak olası mıdır? Bunun yanında dil olgusu ile olan yakın ilişkilerini bilişsel düzeyde ele almamız gerekmez mi? Matematiğin hemen hemen hiç ele alınmamış estetiğini tartışsak iyi olmaz mı? İşte bu heyecanlı öykü, matematiğin felsefesinden başka bir şey değildir kanımca. Yirmidokuz yıldır bir mühendis olarak, hem meslek hem de matematik ve uygulama derslerimde felsefeden kopmadan matematiğin güzelliklerini, yararlarını, değerlerini ve kültürle olan bütünleşik bağlantılarını yaşadım. Amacım bunları paylaşmak, kendi düşüncelerimi sunabilmek ve bu tartışmanın geleneksel duruma gelebilmesine bir katkı yapabilmektir. Bilimi, felsefeden kopararak bilgiyi zincire vuran pozitivist paradigmanın karşısına dikilmeye devam etmektir. Bilginin mutlak olup olmadığı felsefenin temel konularından biridir. Matematiği de yakından ilgilendirmektedir bu konu. O halde, bu olgulara bilim felsefesi / tarihi bağlamında bakmalıyız, bakmak durumundayız.
Bilim Felsefesi / Tarihi Olgusu ve Matematik
Bilim tarihi ile felsefesini birbirinden ayırmak olanaksızdır. Hem tarih hem de felsefe, yaşamın tüm etmenlerinden oluşan koskoca ve devingen bir ağın kendisinden başka bir şey değildir. Bilimin, tarih ve felsefe düzeyleriyle olan ilişkilerinin tanımlanması, betimlenmesi ve kurulması yine yaşamın kaçınılmaz sahneler bütünlüğü olan siyasetten ve iktidar bileşimlerinden bağımsız değildir. Bu süreçlere, ideolojik bağlamda oluşan yaklaşımlar yine bu sentezin içindedir. Başka bir deyişle, ideolojik aygıtların bilimi kullanma biçimi başta eğitim süreçleri olmak üzere tüm kültür etkinlikleriyle iç içedir. Bunun yanında bilim, gündelik yaşam içinde, akademik ortamlarda, uygulama alanlarında yine bu nedenlerle farklı yorumlara, yaklaşımlara ve değerlendirmelere sahiptir. Fakat bununla birlikte tümü, genel anlayışı temsil etmek üzere belirleyici rolünü sürdüren bir şemsiyenin altında toplanır. Bu şemsiyeye, paradigma diyebiliriz. Bugünün belirleyici paradigmasında bilim, genel olarak neredeyse herkesin, yargılamadan ve sorgulamadan üstünlüğünü kabul ettiği bir olgu. Peki nedir bu üstünlük, neden ve neye göre üstünlük? Böylesine bir üstünlüğü tanımlamak olası mıdır? Haklı olduğumuzu kanıtlamak için hemen bilimin arkasına sığınmamızın koşulları nedir? Böyle bir ideoloji yapılanmasının, tarihsel süreç boyunca toplumsal oluşumların eğitsel, ekonomik, siyasal, kültürel ve geleneksel yaşam etmenleriyle ilişkileri ne olmuştur? Bilimsel çalışmaların etik yanı var mıdır?
Sayısız sorularla sürdürebileceğimiz bu tartışma, bilim felsefesinin kendisidir. Yani, bilimin felsefeden koparılamayacağının göstergeleridir. Özellikle son 300 yıl içinde bilimi, felsefeden ayırarak ona yapay bir üstünlük sağlayan koşulları tartışmak gerekmez mi? Örneğin yüzyıllardır okullarda matematik okutulur. İnsanın zekâ düzeyi, "derin bir yanılsama içinde", matematiğe olan yeteneğiyle ölçülegelmiştir. Hatta, tüm bilim dallarının kralı/kraliçesi diye nitelenerek "yanılsamanın derinleştirilmesi" sürdürülmüştür. Sayısız araştırmacı, öğretmen, veli ve öğrenci hiç kuşku duymadan bu "doğrunun!" peşinden gitmiş ve gitmektedir. Matematik, yöntembilime indirgenmiş ve hesap yapmak üzere öğrenilmesi gereken bir yordamlar kümesi durumuna getirilmiştir. Soyutlamalar yerine "somut formüller!" kullanılarak, dilsel bağlantılarından kopuk, kuramsal süzgecin akıl yürütmelerinden yoksun bir korkulu rüyaya dönüşmüştür. Matematiğin ya çok sıcak ya da çok soğuk bir olgu durumuna gelmesinin - matematik kaygısını da anımsayarak - bu yazıya sığmayacak kadar engin bir öyküsü vardır. Örneğin, matematiğin doğasına ait kavramlarla matematik öğretmek arasındaki ilişki nedir? Öğretmenin matematikle ilgili kişisel felsefesiyle öğrencilerin matematiği öğenme ve deneyimleri birbirine bağlantılıdır. Thom'un dediği gibi, "Matematiğin tüm pedagojisi, çoğu kez kolay anlaşılır olmasa da, matematiğin felsefesine dayanır"1 Buna bir başlangıç adımı olarak aşağıdaki soruyu sorarak biraz tartışmaya başlayalım. İlle de haklı çıkmak, doğrusunu biz bilirizi kanıtlamak gibi bir çıkmaz sokak içinde değil, ufkumuzu genişletmek, edindiğimiz bilginin tarihsel ve felsefi boyutlarını yaşamak ve anlamak için tartışalım.
Matematik Keşfedilmiş Midir, Yoksa İcat Mı Edilmiştir?
Son yıllarda bilim ortamında kızışan bir tartışma yaşanıyor. Tartışmanın bir yanında, bilimin dünyaya ilişkin akılcı bir betimlenmesinin gerçeğe/gerçekliğe yakınsadığı savunuluyor. Bilim, giderek gerçek dünyanın kesin bir betimlemesine adım adım yaklaşıyor. Anlatımı kolaylaştırmak için bu yaklaşıma "gerçekçi" diyebiliriz. Yani, mutlak bilginin elde edilmesi olanaklı görülmektedir. Mutlakçı bir yaklaşımdır söz konusu olan. Tartışmanın diğer yanında ise, dünya ile ilgili bilginin, toplumsal oluşumun bir parçası olduğu ve tek bir gerçekliğin olamayacağı öne sürülüyor. Evrene ve dolayısıyla dünyaya ait bilgilerin yapılanması toplumsaldır ve kültür ağının gelişim süreçlerine bağlıdır. Mutlak bilgi yoktur. Bu yaklaşıma "görecelikçi" diyebiliriz. Bu bağlamda, matematik açısından bakıldığında, matematiğin keşfedilen bir olgu mu olduğu, yoksa icat edilen düşünsel bir üretim mi olduğu tartışması ortaya çıkmaktadır. İlk anda "yararcı", ya da matematiğin sunduğu olanaklar açısından bakıldığında böyle bir tartışmanın sonucu önemsiz görülebilir. Ancak, aşağıda sunmaya çalışacağım gibi bu tartışma, bilginin edinilmesi, kavramların oluşması, bilgilerle yeni bilgi ve kavramların üretilmesi, bilişsel süreçlerin değerlendirilmesi ve tüm bunların bir bileşkesi olan eğitim sürecinin toplumsal ve kültürel işlevleri açısından belirgin bir önem taşımaktadır.
Mutlakçı yaklaşımlara göre matematik, tümdengelimli mantığın sağlam temellerine dayanan nesnel, kesin ve düzeltilemez bir bilgi bütünüdür. Yirminci yüzyılın felsefe açılımlarından Mantıkçlık, Biçimcilik (Formalism) ve bir ölçüde Sezgicilik ve Platonizm mutlakçı yaklaşımlardır.2 Mutlakçı bakış açısı matematiği, evrensel, nesnel ve kesin olarak görür. Bunlar, insanların sezgileriyle keşfettiği ve kanıtlarla saptadığı gerçekliklerdir. Bu görüşü savunanlar arasında, bugünün yaşayan önemli matematikçilerden Roger Penrose ve John Barrrow'da vardır. Burada vurgulanması gereken nokta, bu bakış açısında matematiğin, bilimin kavramsal çerçevesini sağlarken "akıl almaz etkinliğine" dikkat çekilmesidir. Yoksa, günlük yaşamdan bağımsız olarak zaten bizim dışımızda oralarda bir yerde bulunan matematik, doğada yer alan desenleri nasıl bu kadar mükemmel betimleyebilirdi ki?
Matematiğe mutlakçı olarak yaklaşan felsefeler, matematiği veya matematik bilgiyi betimlemekle ilgilenmezler. Daha çok, matematik bilgiyi mutlak olarak garanti edecek etkin epistemolojik projeyle ilgilidirler. Epistemolojik amaçlar için katı mantıksal yapılarla özdeşleşmişlerdir. Buna göre, matematik bilgi zaman aşırıdır, ebedidir. Yeni kuramlar ve gerçeklikler keşfedilmeye devam edilse de, bunlar tarih dışıdır ve matematik tarihi, matematik bilginin doğasında ve doğrulanmasında konu dışı kalmaktadır. Bu nedenlerle de matematik bilgi, izole edilmiş arı bir bilgidir, evrensel geçerliliğiyle yararlıdır ve kültür dışıdır. Matematik bilginin tarihsel süreçteki gelişimi ve değişimini, üretim ilişkilerinden ve farklı kültürel ortamlardan bağımsız olarak ele alan bu yaklaşımı değerlendirmeye devam etmeden önce, buna karşıt olan görüşe de bir göz atalım.
Bu bakış açısı, matematik bilginin göreceli olduğu ve yanılabilir özelliklere sahip olduğunu savunur. Buna göre matematik, sürekli gelişmekte olan tamamlanmamış ve hiçbir zaman da tamamlanamayacak bir olgudur. "Yanılabilir olduğu için, düzeltilebilir, gözden geçirilebilir ve değişebilir niteliktedir. Matematik bilgi, keşfedilen bir varlık olmaktansa buluşun, icat edilmenin ürünüdür. Matematikteki yanılabilirlik, evrene ilişkin bilgi arayış süreçlerinin içinde olduğundandır. Wittgenstein, Matematiğin Temelleri Üzereine Uyarılar adlı eserinde matematiği, birbirleriyle çakışan ve birbirine kenetlenen dilsel oyunlardan oluşmuş bir renk cümbüşüne benzetir. Bu oyunlar anlamsı değildir, tersine kurallara bağlı matematik deneyime dayanan, matematik simgeselliğe ve düşüncelere anlam kazandıran oyunlardır. Örneğin değişim hızı olarak ele aldığımız türevde, limit kavramıyla bağlantı kurduğumuzda bir süreklilik olgusunu yaşam deneyimlerimizle değerlendirebiliriz. Gündelik yaşam gözlemlerimizi ve fiziksel olandan alğıladıklarımızı dile getirirken matematik bilgiyle bağlantı kurmaktan başka bir şey değildir bu oyunlar.
Matematiğin mutlak bilgiye dayanmadığını savunan Imre Lakatos'un verdiği bir örnek vardır. Bu, "Euler İlişkisi" olarak bilinir. Matematiksel cisimlerin, yüzey sayısı (Y), kenar sayısı (N) ve köşe sayısı (K) arasındaki ilişkinin, Y+K=N+2 olduğunu kanıtlamak için yüz yıldan fazla zaman gerekti. Ancak, bu bağıntı düz yüzeyli geometrik cisimler için geçerliydi. Eğrisel yüzeyler için yapılan çalışmalar, önerilen kuramlar ortaya çıkmaya devam etti. Ve her zaman bu kuramların boşlukları bulunarak gelişmesi süregeldi. Lakatos'a göre, matematikteki hiçbir tanım ve kanıt sonsuza kadar mutlak değildir ve yeniden ele alınıp düzeltilmesi olayından kurtulamaz. Bir başka küçük örnek de, iki nokta arasındaki en kısa uzaklığın doğru olduğu savıdır. Bu bir gerçekliktir. Ancak, bu iki nokta düzlemsel bir alan üzerinde ise "doğrudur". İzmir'den kalkan bir uçak İstanbul'a giderken eğer en kısa mesafeyi izleyecek olursa doğrusal bir yol üzerinden seyahat ederdi. Fakat bir eğiri çizerek yol alır bu uçak. Çünkü dünya dönmektedir. Euclid geometrisine dayanarak ifade ettiğimiz koordinat dizgesi, eğrisel bir geometri tanımlamasında geçersiz kalmaktadır. Yani, "doğru", "gerçeklik1" gibi olgular görecelidir. Biz matematiğin yarattık. Archimedes bize bir değerler dizgesi armağan etti. Olağan sayı dizgemiz onluktur. On parmağımız olduğu için. Eğer sekiz parmağımız olsaydı, belkide sekizli dizgeyi kullanırdık. Bilgisayarlar ikili dizgeyi kullanır. Onu da biz icat ettik. Çünkü her bir işlem için bir elektrik devresi içeren benzeşik bilgisayarlar bir bina kadar yer kaplıyordu. İkili dizgeyi icat ederek bir bina kadar olan benzeşik bilgisayarı, neredeyse bir kibrit kutusuna sığacak sayısal bilgisayara dönüştürdük. Matematiğin "icat ederek", evrende "keşfetmeyi" sürdürdüğümüz gerçekliklerin üstesinden gelmeyi başardık ve bu süreç devam ediyor.. Biz ışığın hızını icat etmedik, ancak onu Einstein'ın e=mc2 (enerji=kütle x ışık hızının karesi) gibi denklemlerle tartışmak, incelenmek için matematiği icat ettik. Başka bir deyişle doğayı, "matematik modelledik".
Sonuç Yerine
Reuben Hersh'e göre, matematiğin bir ön bir de arka yüzü vardır. Ön yüzünde, insanlara sanki tat uzmanlarının bir lokantasındaymışçasına mükemmel matematiksel tabaklar sınulur. Burada, "mutlak matematik" izlenimi korunmaktadır. Fakat arka yüzünde, matematikçiler kargaşalı, karmaşalı ve insan çabasının kaçınılmaz uğraşılarının yer aldığı ortamda yeni bilgiler pişirirler. Başka bir deyişle, bu süreçleri ve ürünlerini matematik disiplinin bütünü olarak görmek durumundayız.
Matematik artık, nesnel ve insan üstü bir arı ve soyut bilgi kitlesi olarak görülmemelidir. Matematik, bir toplumsal uygulama ve deneyimler kümesidir. Tümüyle, kendi tarihselliği, kişiselliği, kurumsallığı ve toplumsal konumları, simgesel biçimleri, amaçları ve güç / iktidar ilişkileriyle bağlantılıdır. Matematiğin akademik düzeydeki araştırmaları bu pratiklerden bir tanesidr. Benzer biçimde okul matematiği de bağlantılı kümelerden biridir. Matematiğin kılgısallığı; sıcak, insansal, kişisel, sezgisel, etkin, işbirliğine dayalı, yaratıcı, araştırmacı, kültürel, tarihsel, canlı, insanın içinde bulunduğu koşullara bağlı, zevkli, neşeli, merak ve güzellik içinde gerçekleşmelidir. Zaten, matematik odur. Okul matematiğinin kılgısallığında bunları ele almanın zamanı gelmiş ve çoktan da geçmiştir. Bir formül yığınına dayalı, yalnızca yayarcı yönüyle ezberletilen matematiğe yukarıda ifade edilen estetik değerler çerçevesinde felsefeyle olan bitmez tükenmez birlikteliği canlandırılmalıdır. Bilginin algılanma, öğrenilme ve uygulanma süreçlerinin, ya da bilişsel özelliklerinin yaşamın bütünlüğü içindeki yerini ve önemini söylemeye bile gerek yoktur. Bunun ayrıntılı olarak tartışılması bir başka yazının konusudur.
Matematiğin keşfedilmiş ya da icat edilmiş olduğu üzerindeki çelişkili tartışma, felsefenin yıllarca sürmekte olan sorunları gibi devam edebilir. Mutlakçı bakış açılarıyla, bilgiden kuşku duyan ve göreceli özelliklerine kafa yoranlar arasındaki tartışma ikibinbeşyüz yıldan fazla bir süredir sahnededir. Burada amaç mutlaka bir ikna sürecini yaşatmak olmamalıdır. Aksine, "ezbere yaşam" paradigmasını sorgulamak ve tartışmaya zenginlik katmaktır. Matematiğin, belirli koşullar altında doğru olabileceği, yanılabilir karakterde ve tarihsel olarak değişebilen özelliklere sahip olduğunu, matematik bilginin özerk ve kararlı olmadığını tartışmaya açmaktır. Onsekizinci yüzyılın büyük filozoflarından, Giambattista Vico'nun söylediği gibi, "Kesin olarak bilebileceğimiz gerçekler, yalnızca kendimizin icat ettikleridir". Bana göre, hiç kuşku yok ki, matematik bu buluşların, icatların en büyüğüdür.
Matematiğin felsefesine ilişkin bu ilk bölümü, Stephen W. Hawking ile Roger Penrose arasında geçen bir tartışmadan küçük bir parçayla bitirmek istiyorum7.
Hawking: Parçacık fizikçileri tarafından, kuantum salınım tutarlılığında bir kaybın olabileceğini öneren sakıncalı bir köktenci olarak görülmeme rağmen, Roger'e kıyasla kesinlikle bir tutucuyum. Ben, fiziksel bir kuramın yalnızca bir matematik model olduğunu ve bunun gerçekliğe denk gelip gelmediğini sormanın da anlamsız olduğunu belirten pozitivist bir görüşteyim. Sorulabilecek tek şey, varsayımlarının gözlemlerle uyum içinde olması gerektiğidir. Düşünceme göre, Roger kalpten bir Platonisttir, fakat bunun hesabını kendisi vermelidir.
Penrose: Bu tartışmanın başında Stephen, kendisinin bir pozitivist, benim de bir Platonist olduğumu düşündü. Kendisiyle birlikte bir pozitivist olmak beni memnun eder, ancak buradaki can alıcı nokta, aksine benim bir gerçekçi (realist) olmamdır. Birisi bu tartışmayı, yaklaşık yetmiş yıl önce Bohr ile Eistein arasındaki ünlü tartışmaya benzetecek olursa, Stephen'in, Bohr'un rolünde olduğu, benim de Einstein'ın rolünde bulunduğumu düşünmem gerekir! Einstein'a göre, mutlaka bir dalga fonksiyonuyla temsil edilmesi şart olmayan gerçek bir dünyaya benzer bir şeylerin olması gerektiğini öne sürerken, Bohr da, dalga fonksiyonunun "gerçek" bir mikrodünyayı betimlemediğini, ancak, yalnızca varsayımlar yapmak için yararlı olan bir "bilgiyi" ifade ettiğinin altını çizer.
İspanyolca bir deyimle, "bu piriç daha çok su kaldırır". İşte felsefenin lezzetide burada değil mi?
Matematiğin Felsefesi II
Matematiğin felsefesi ele alınması oldukça zor ama çok da ilginç bir konudur. Alfred N. Whitehead'in bir keresinde söylediği gibi, "matematik, insan ruhunun en özgün yaratılarından biridir ve başlıca rakibi müziktir". Arı matematik, akılcı düşüncenin doruğunda oturmaktadır. Ondan kopuk olmayan uygulamalı matematik de o doruğun etrafını saran inanılmaz güzellikleri oluşturmaktadır. Bugünün belirleyici paradigması olan pozitivizm ne kadar dirense de, bu dorukla etrafının karşılıklı etkileşimli bağlantıları giderek yeni bir matematik felsefesinin inşa edilmesine kaynaklık etmektedir.
Matematiksel sonuçlar; temel kuramlardan geometrik şekillere, işlevsel çözümlemenin karmaşık yapılanmalarına ve küme kuramına kadar kesinliğin, özenin ve belirliliğin paradigmaları olarak bir görüntü çizerken, yine aynı matematik bilginin kesin gerçekliğine ulaşmanın sonsuzda olacağını bize gösteren ayrı bir resim de çizmektedir. Matematiğin, felsefesinden yoksun kalmasının olanaksızlığı giderek "uzman" kişilerden insanlık kültürünün bütünlüğüne doğru yol almaktadır. Matematiksel sonuç ve yöntemler genellikle şaşırtıcı ve zariftir. Bazen de sanatlarda bulunan tipik güzelliklere benzer biçimde sade, soyut güzelliklerin üstündeki örtüyü kaldırır. Eğitim dizgelerinde yalnızca işlem, yöntem ve problemlere indirgenen matematiğin entellektüel yaşamımızın içine işleyen bu boyutlarıyla ele alınmasına ve felsefesiyle bütünleşen kültürel bir bütünlüğe büyük gereksinme vardır. Felsefesinden koparılmış bir matematik özellikle eğitsel süreçlerde insana yabancılaşır ve bu yabancılaşma içindeki birey de matematiği bir kaygı yığınına dönüştürür ve "ezber" olgusuna önemli bir yer açılır.
Matematiğin felsefesi, matematiğin özsel yönlerini aralamak, aydınlatmak ve insan türünün nasıl oluyor da matematik yapabildiğini araştırmak üzere yola çıktığımızda başlar. Buradaki zorluk, çeşitli yönlerini tutarlı bir bütünlük içinde toplayabilmekte yatmaktadır. Tüm bunları bir araya getirmenin güçlüğü açıktır. Kültürden ve yaşam tarzından bağımsız olmaması farklı bakış açılarını da beraberinde getirmektedir. Örneğin, matematiksel sonuçların kuşku duyulmazlığını, nesnelliğini ve zaman dışılığını açıklamak için onları, uzay-zaman dışında bir Platonik dünyanın gerçek betimlemeleri olarak görmemiz gerekir. Bu bakış açısı bizi, insanın bu gerçekliklerle nasıl temas edebileceğini açıklamak sorunuyla baş başa bırakır. Buna karşılık, Platonik dünyadan uzaklaşarak matematiğe, biçimsel simgelerle oynanan bir oyun olarak bakabiliriz. Bu, insanların nasıl matematik yaptıklarını açıklayacaktır. Zaten doğuştan oyun oynayanlar değil miyiz? Ancak, bu görüş bizi bir görevle karşı karşıya bırakır: Oyunun kurallarını belirleme ve bu matematik oyununun neden bu kadar kullanışlı olduğu. Fakat hâlâ, matematiği açıklamak için başka yaklaşımlar da vardır. Ve tüm bunlar, matematiğin diğer yönlerini tamamen gizem içinde bırakarak matematiğin bazı yönlerini aydınlatmak üzere kaçınılmaz olarak indirgemeci konumlarını alacaklardır. Fakat, tüm bu çeşitlilik içindeki yaklaşımlarda göze çarpan temel bir ayırım vardır. Matematiğin gerçekçi (Platonist) düşünce ve yapılandırmacı (constructivist) düşünce. Gerçekçilik, matematiksel evrenin gerçekliğini kabul eder ve bunu keşfeden matematikçilerden bağımsız olduğunu öne sürer. Yapılandırmacılık ise matematik gerçekliğin, matematiği icat eden matematikçilerin var olan, günlük ve kazandıkları olası yapılanmalarca koşullandığını savunur. Yani, kültürel bir boyutu vardır.
Acaba, soyut nesneler var mıdır? Ya da, tüm nesneler uzay-zaman içinde somut olarak mı var olur? Gerçekçi yaklaşıma göre soyut nesneler vardır. Bunlar matematiksel nesnelerdir ve nesnel gerçeklikler olarak bulunur. Zihin, matematiksel sezginin ilkel yetisi veya matematiksel alanı kavrama yeteneğiyle donanmıştır. Matematiksel dil ve anlam, referans ve gerçek cinsinden geliştirilir. Buna karşılık, tüm nesnelerin uzay ve zaman içinde var olduğu, değiştiği ve kültürel olarak paylaşıldığı düşüncesi, matematiğin yapılanmaya dayalı bir yorumu olacaktır. Buna göre, matematik içsel bir zihin etkinliğidir. Anlam, daha çok hesaplamaya dayalı bir içeriktedir ve dilsel özelliklere çok yakındır. Dilsel anlam kuramı, koyutları (postulaları) ve dönüşümleri anlamlandırarak devingen bir yapıda geliştirilir. Görüldüğü gibi, matematiğin felsefesi çok boyutlu bir sahneyi canlandırmaktadır. İnceledikçe yeni boyutlar eklenmektedir. Felsefe ve ötesinde, örneğin doğal bilimler, ruhbilim, dilbilim gibi alanlarda yankılanan özelliklere sahiptir.
Genel ve ana hatlarıyla vermeye çalıştığımız matematiğin felsefe sahnesi, bilim felsefesi ve doğal olarak tarihi ile de bir bütünlük içindedir. Fakat, kendine özgü bir yönüyle uzun yıllardır bu sahnede aranmaya çalışılan "matematiğin temelleri" düşüncesidir. Aşağıda biraz daha ayrıntıyla vermeye çalışacağımız düşünce okulları, matematiği kendi alanları içinde hapsetmişlerdir. Yani, indirgemişlerdir. Buna karşılık, o alanlarda yapılan araştırmaların, matematiğin özsel bazı özelliklerinin ortaya çıkarılması açısından önemli katkıları vardır. Bunu aşağıda biraz daha ayrıntılı araştıracağız. Elde edilen sonuçlar birer düşünce önerisidir. Tartışma ortamını zenginleştirmeyi, tartışmaya açmayı ve yeni bir "matematiğin felsefesinin" kuruluşuna katkıyı amaçlamaktadır.
Biçimcilik
Matematiksel kılgıyı gözlediğimiz zaman simgelerin belirli kurallar uyarınca kullanıldığını görürüz. Bu açıdan baktığımızda matematiği, simgelerin kurallarla denetlenip yönetilen, ya da biçimsel bir kullanımı olduğunu söyleyebiliriz. Hatta bundan başkası olmadığını da vurgulayabiliriz. İşte bu noktada, "bundan başkası olmadığı" vurgusu, yüzeyselliğin ve onun felsefi bir başka adı olan indirgemeci değerlendirmeye düşmüş oluruz. Bu görüş, genellikle "biçimcilik" olarak bilinir. Buna bir örnek verelim. Yapay zekâ ile ilgilenen bilgisayar bilimcilerinden bazıları, doğal olarak insan zekâsının, kullandıkları makinaların yaptıklarından ilke olarak farklı olmadığını düşünme eğilimindedirler (her meslek alanında benzer indirgemeci eğilimlere rastlandığı gibi). Böylece, insan zekâsı bilgisayara, kuramlar programlara ve düşünce de bir makinanın yaptığı işlemlere benzetilir ya da uyarlanır. Bir biçimciye göre matematik, bundan başka ne olabilir ki? Ve de ekler: Herhangi bir yolla matematik yapan bir kişi simgeleri kullanmaktan kaçabilir mi?
Matematiksel kılgıyı gözlediğimiz zaman simgelerin belirli kurallar uyarınca kullanıldığını görürüz. Bu açıdan baktığımızda matematiği, simgelerin kurallarla denetlenip yönetilen, ya da biçimsel bir kullanımı olduğunu söyleyebiliriz. Hatta bundan başkası olmadığını da vurgulayabiliriz. İşte bu noktada, "bundan başkası olmadığı" vurgusu, yüzeyselliğin ve onun felsefi bir başka adı olan indirgemeci değerlendirmeye düşmüş oluruz. Bu görüş, genellikle "biçimcilik" olarak bilinir. Buna bir örnek verelim. Yapay zekâ ile ilgilenen bilgisayar bilimcilerinden bazıları, doğal olarak insan zekâsının, kullandıkları makinaların yaptıklarından ilke olarak farklı olmadığını düşünme eğilimindedirler (her meslek alanında benzer indirgemeci eğilimlere rastlandığı gibi). Böylece, insan zekâsı bilgisayara, kuramlar programlara ve düşünce de bir makinanın yaptığı işlemlere benzetilir ya da uyarlanır. Bir biçimciye göre matematik, bundan başka ne olabilir ki? Ve de ekler: Herhangi bir yolla matematik yapan bir kişi simgeleri kullanmaktan kaçabilir mi?
Bunu biraz daha somutlaştırmak için bir biçimciye, aritmetiğin temel kuramından ne anladığını sormuş olalım. Tamamen biçimcilik içinde kalan bir kişi için bu kuram, yalnızca bir simgeler zinciridir. İçerik belirleyici değildir. Bu kuramın bir içeriğe sahip olduğunu bize hissettiren şey ise, yalnızca meşgul olduğumuz etkinliklerde oynadığı kesin roldür. Eğer simgesel etkinliklerimize daha kesin bir betimleme yaparsak, örneğin, matematiğin herhangi bir bölümünü yasa ve kurallarla düzenleyen özel bir biçimsel dizge geliştirirsek o zaman aritmetiğin temel kuramının rolüne ilişkin kesin bir açıklama getirebiliriz. Bunu yapmadığımız sürece, kuramın içeriği boştur. İçerik, biçimsel tasarımla ortaya çıkar ve anlam kazanır. Bu kuramla ilgili birkaç biçimsel kanıt belirtebiliriz. Bu kanıtları, başka kanıtların biçimsel ele alınışlarında kullanabiliriz. Ancak, biçimci için kuramların, simgesel etkinlerimiz içindeki işlevinin dışında bir anlamı yoktur. Bütünüyle biçimci olarak bakan bir kişi için kuram, doğal sayılar için herhangi bir önermede bulunmaz, çünkü kendisi için böylesi nesneler yoktur. Nesne yerine biçim egemendir.
Bu tartışma, matematiksel bir dizgenin biçimsel bir dizgeye indirgendiği bir durumu ifade etmektedir. Yoksa, matematikte simgenin rolü olmadığı, simgeler aracılığıyla bir göstergeler ve dil süreci içinde anlam kazandığını yok saymak olanaksızdır. Ayrıca, çok da önemlidir. Matematiksel etkinliklerde koskoca bir göstergebilimsel bir dizgenin belirleyici bir tarafı olduğu açıktır. Ancak, insan zihnin algoritmik bir araç olmadığı da ayrı bir açık noktadır. Biçimsel düzeyde, algoritmaların işlediği ve sorunları belirli adımlarla çözüme ulaştırabileceği gerçeği, matematiğin felsefesindeki, ya da yaşamla olan bağlatılarındaki karşılıklı etkileşimli yapılanmaları gözden ırak tutamaz. Yüzeysel kalan bu yaklaşım, özdeksel nesneye inemez.
Matematik yaparken, nasıl çözüleceğini bilmediğimiz bir problemle didişirken simgelerle uğraşmaktan çok, düşünceler ve yapılanmalarla uğraşırız. En zor durumlardan biri, matematikle uğraşan bir kişinin bir düşüncesinin olduğu, fakat bu düşüncesini biçimsel olarak belirtemediği anlardır. Bu düşünceler kendilerini sıklıkla görsel ve kinestetik görüntüler olarak gösterir. Problem üzerindeki inceleme sürdükçe ve çalışma aydınlandıkça ve de daha biçimsel oldukça, belirgin bir içsel yapının varlığı açıkça görülür. Bu durumda, bu içsel yapılar henüz simgesel kodlamaya uğramamıştır. Ruhbilimsel kategorileri burada nasıl ihmal edebiliriz? Bilgikuramsal yönlerini nasıl küçümseyebiliriz? Matematikçiler alışılmış olduğu üzere, düşüncelerden, yapılanmalardan ve kanıtlardan öyle bir şekilde konuşurlar ki, kullandıkları simgelerin dışında / arkasında, zihinlerinde birşeyler olduğu açıkça görülür. Farklı simge dizimlerinin aynı matematiksel yapılanmayı ifade ettiği, iki farklı sunumun aynı kanıtı açıkladığı / yorumladığı çoğukez karşımıza çıkar. Aynı yapılanma örneğin, karmaşık sayılar matematiğin oldukça farklı alanlarında kullanılabilir. Eğer eski bir kuramın yeni bir kanıtıyla karşılaşırsak, eski kuramın yeni bir biçimi olmadığını, boyutlararası yeni bir yapılanmanın oluşturulduğunu biraz dikkatlice bakarsak görebiliriz. Yapılanmalar, simgelere yaşam ve içerik kazandırır. Biçimcilikte, yapılanmalar öznel bir yanılsama olarak görülür ve bunları ya yadsırlar ya da "höristikler" değerlendirmesiyle ortamdan uzaklaştırırlar. Biçimcilik, yapılanmalarla ilgili bir kuram geliştiremez, çünkü sezgisel ağı yok sayar. Bu bakımdan biçimcilik, birçok yönüyle eksik açıkladığı matematiğin bir felsefesi olamaz.
Şimdi bu yapılanmalara biraz açıklık getirmek üzere biraz üstte sözünü ettiğimiz "sezgi" olgusu üzerinde duralım. Sezgi, biçimselin karşıtı gibi durmaktadır. Bu bağlamda sezgisel bir kanıt; biçimden kurtarılmış, simgelerden bağımsız ve belki de konuşulamazdır. Kılgısal bir gerçeklik olan sezgilerin, ya da sezgisel yapılanmaların matematiksel etkinlikte yaşamsal işlevleri vardır. Ancak matematiği, sezgiye indirgeyebilir miyiz?
Sezgicilik
Matematik, sezgisel yapılanmalardan meydana gelir, bunların dışsal ifadeleri de biçimsel kullanımlarıdır. Bundan ötesi önemsizdir. İşte bu önerme, sezgicilik olarak bilinen bir görüştür. Yine indirgemeci geleneğin bir koludur. Şimdi biraz inceleyelim.
Sezgicilik, matematikçinin dışındaki herhangi bir matematiksel gerçekliğin varlığını veya gerçekten kanıtlanmış ya da kanıtlanabilir bir gerçeği yadsır. Sezgiciye göre, matematiksel nesneler yalnızca yapılanmaların bir sonucu olarak var olur. Matematiksel olgular, ancak kendisinin yapabildiği tartışmaların sonucu olduğu sürece kendisi için gerçektir. Şimdi yeniden aritmetiğin temel kuramını ele alalım. Sezgici, bunu bir biçimci gibi yalnızca bir simgeler dizimi olarak almaz. Kuramın bir anlamı vardır. Ancak, kuramı herhangi bir doğal sayıyı, asal sayı çarpanlarına ayırma yeteneğimizi ifade etme olarak düşünür. Başka bir deyişle, bir sezgici aynen bir biçimci gibi kuramın anlamını, kılgısal etkinliğimiz içinde bırakır. Elbette insanda böyle bir yetenek olmasa, böyle bir bilişsel süreci gerçekleştiremezdi. Bu bilişsel sürecin, yetenek dışında bir dilsel ve göstergebilimsel ağ içinde karşılıklı etkileşimlerle toplumsal olarak meydana geldiğini göz önüne alırsak, sezgiye dayalı etmenlerin dışında da birçok değişkenin olduğu görülecektir. Entellektüel bir hareket olarak matematiksel sezgicilik, her birimizi birbirimizden yalıtır ve bu yalıtma bizi bilgikuramsal olarak bireysel kaynaklara indirger. Buna göre, içsel deneyim olanaklı biricik bilgi kaynağıdır ve içsel deneyimin dayandığı dışsal gerçeklikleri yadsır.
Yine yüzeysel bir tasarımla karşılaşmış durumdayız. Matematiğin söz konusu indirgemeci yorumu tek başına bütün bir felsefeyi açıklamakta güçlük çekmesine ve bundan dolayı yüzeysel kalması kaçınılmaz olmasına rağmen bu sezgici yaklaşımın katkıları da olmuştur. Sezgici yazın bize, matematiksel kılgının anlaşılmasına yardım etmiştir. Matematiksel yaratımın içsel süreçlerine ilişkin zengin düşünsel kaynaklar sağlamıştır. Matematiksel mantığın bir dalı olarak kendisini bu içgörülerin içeriğini anlamaya adamıştır.
Bununla birlikte sezgicilik, matematiğin en güçlü itici gücü olan toplumsal onaylı gerçeklikleri önemsememesidir. Herşey bir yana matematik, bilimin bir parçasıdır. En azından bilim-matematik bütünlüğünün önemli bir bileşenidir. Matematiği uygulamanın en temel amacı yeni gerçeklikleri ortaya çıkarmaktır. Sezgicilikte olduğu gibi, eğer bu özelliğinden vazgeçilirse matematik, bir oyuna indirgenmiş olur. Halbuki, matematiğin kültürle bir bütünleşikliği vardır. Matematik tarihine bir göz attığımız zaman, yeni tanımların, yeni tekniklerin ve yeni kuramların katıksız bir birikimiyle karşılaşmayız. Aksine, eski kavramların yinelenerek arıtıldıkları ve daha keskin anlamlar kazandıkları bir süreçle karşılaşırız. Burada, giderek yükselen bir özenlilik standartına, artan bir genellilik ve derinlik karşımıza çıkar. Her matematikçi kuşağı, bir önceki kuşağın matematiğini yeniden düşünür, geçici ve yapay ya da sahte olanları atar ve yeni koşulların gerçekliğine dayanarak onu bir kez daha yapılandırır. Tüm bu karşılıklı etkileşimli ilişkiler bütünlüğünü, bireyin içsellliğine indirgeyen ve matematik gerçekliği savsaklayan bir bilgikuramıyla açıklamak olası mıdır? Böylesi bir yaklaşım içindeki araştırmalarda değerli bilgiler üretilse de, indirgemeci yapısı nedeniyle matematiğin felsefesini inşa edecek bir süreci kaldıramaz.
Mantıkçılık
Diyelim ki, matematik belirli gerçekliklerden, bu gerçeklikleri kuran savlardan, bu savların altında yatan yapılanmalardan, bu savları ve gerçeklikleri ifade eden simgelerin biçimsel kullanımlardan meydana gelmiş olsun. Yani, matematik bunların dışında herhangi bir şey olmasın. Böyle bir yaklaşım, geleneksel olarak bilinen mantıkçılığın genel iddiasıdır. En önemli savunucuları Gottlob Frege ve Bertrand Russell’dir.
Bir biçimci veya bir sezgicinin aksine bir mantıkçı aritmetiğin temel kuramını, içeriği bizim etkinliklerimizden oldukça bağımsız bir gerçeklik olarak görecektir. Bununla birlikte bir mantıkçı için, aritmetiğin temel kuramında ifade edilen özellikleri olan ve bağımsız varlıklar olarak bulunan doğal sayılar yoktur. Aksine bu kuram, uzun bir tanımlar dizisi temelinde anlaşılmalıdır. Kuram, yalnızca çok karmaşık mantıksal bir gerçekliktir. Matematiksel gerçeklikler, herhangi bir gerçek durumu başarıyla betimlediği için gerçek değildir. Onlar, gerçeklere dayanan içerikten yoksundur. O halde, matematiksel gerçeklikler, kendi içsel yapıları ve aralarındaki ilişkiler nedeniyle gerçektir. Bu yolla mantıksal gerçeklikler, "gerçek" olur. Kısacası, matematik yalnızca mantıktır. Ancak, buradaki "mantık" kavramsal akıl yürütmedir. Belirtmek gerekir ki, mantıkçı düşüncenin kavramsal akıl yürütme yoluyla matematiğe önemli katkıları olmuştur. Bir felsefe olarak mantığa indirgenen özsel yapısı dışında, temel matematiksel düşüncelerin kuruluşuna katkısı olmuştur. Aslında matematiksel kılgı, birçok yerde mantıktır. Biçimcilik ve sezgicilikte olmadığı ölçüde, mantıkçılıkta matematiksel kılgıyla ilgili katkılar, özellikle aritmetik ve matematik çözümlemede alanlarında olmuştur. Ancak, matematiğin ilgili olduğu nesneleri es geçtiğinden mantıkçılık, matematiğin eksik bir felsefesidir.
Platonculuk
Yirminci yüzyıl, "Platoncu matematik" olarak bilinegelen çalışma ilkelerini ve ona bağlılıklarını ifade eden makaleleri kesin bir şekilde betimlemiş değildir. Ancak bu ilkelerin inançların başlıcalarını şöyle belirtebiliriz:
- Gerçel sayı dizgesi gibi, belirli ideal matematiksel varlıklar büyüklükler bulunmaktadır.
- Belirli tümdengelim biçimleri vardır.
- Eğer matematiksel bir önerme akla yatkın geliyorsa, onun doğru ya da yanlış olduğu kanıtlanabilir.
- Matematik temel olarak, matematikle uğraşan insanlardan bağımsız ve ayrı olarak vardır. Örneğin, "pi sayısı göklerdedir".
Bu felsefi yaklaşımı şöyle belirtebiliriz: Matematik, bizden bağımsız olarak var olan soyut yapılarla ilgili gerçekliklerden, bu gerçeklikleri kuran mantıksal savlardan, bu savların altında yatan yapılanmalardan, bu savları ve gerçeklikleri sergileyen simgelerin biçimsel kullanımlarından oluşur. Bu önermeyi başka bir deyişle ifade edersek: Matematik, soyut yapılarla ilgili gerçekliklerden oluşur. Bu gerçeklikler; bizden, bu gerçeklikleri kuran mantıksal savlardan, bu savların altında yatan yapılanmalardan, bu savları ve gerçeklikleri sergileyen simgelerin biçimsel kullanımlarından bağımsız olarak bulunur, yani vardır. Matematiğin, bunların dışında oluştuğu herhangi bir şey yoktur. Bu önerme, matematiğin felsefesine platoncu bir yaklaşımdır. Şimdi, biraz daha açalım.
Bir platoncu, aritmetiğin temel kuramını harfi harfine yorumlar. Platoncu için, doğal sayılar bizden bağımsız olarak vardır. Bu bakımdan sayıların, asal çarpanlara eşsizce ayrılmaları zaten gerçektir. Buradaki "eşsizce" sözcüğü, çarpanlara ayrılmanın her bir sayı için "tek, teksel" olduğunu vurgulamaktadır. Yani herbir sayı, tek bir şekilde eşsizce çarpanlara ayrılır.
Bu görüşe göre matematikçi, kendi matematiksel etkinliğinden önce gelen çeşitli soyut yapılarla karşı karşıyadır. O, bu yapıları yaratmaz, aksine bulur, keşfeder. Bunlarla ilgili çalışma sürecinde, bu yapılarla ilgili giderek arıtılan bir sezgi geliştirir. Sezgisi, kendisinden önce gelenler tarafından keşfedilen gerçekliklerden oluşur. Ve bu sezgisi kendisine yeni yapılar bulmasına, eski yapılarla ilgili yeni varsayımlar yapmasına olanak verir. Bu varsayımları irdelemek için, kendisinde beliren soruları yanıtlamak üzere, yapılanmaları devreye sokar, savlarda bulunur ve yeni kavramlar tanımlar. Bu yapılanmalar giderek matematiksel gündelik dilde ifade bulur, hesaplamalarla desteklenir, daha kesin ve biçimsel duruma gelir. Öylelikle, bunlar toplumsal olarak ulaşılabilen ve iredelenebilen bir konuma varır ve matematiğin içinde geliştiği daha geniş toplumsal diyalektiğin bir parçası olur.
Yukarıda ana hatları verilen platoncu yaklaşımda öylesine bir rehavet vardır ki, gündelik yaşam paradigmasıyla hemen hemen hiç çelişmez. Bu bakımdan, matematiğin felsefesiyle hiç de ilgili olmayan birçok kişi farkında bulunmadan platoncu bir görüntü çizer. Bu tatmin edici etkisiyle platonculuk, belirleyici paradigmada yerini hep koruyagelmiştir. Çok az matematikçi veya felsefeci ya da düşün insanı onu aşmak gibi bir uğraşa girmiştir.
Sonuç Yerine
Matematiğin temelleri üzerine yoğunlaşan ve onların arayışı içinde olan farklı düşün okullarının indirgemeci karakteri bu yaklaşımlarından ileri gelmiştir. Matematiğe önyargı ile bakarsak, matematiğin temellerini arayış içinde olanlar tarafından ihmal edilegelmiş birçok yönünü açıkça görmüş oluruz. Bunlar arasında, belirleyici matematik paradigmasınca resmen onaylanmamış kanıtlar, tarihsel gelişim, matematiğin olası hataları, kanıtların dışında matematiksel açıklamalar, matematikçiler arasındaki iletişim, çağdaş matematikte bilgisayarların kullanımı, matematik öğrenimi, matematik öğreniminin felsefesi, matematik ve dil/göstergebilim ilişkisi, matematik, kültür ve toplumsal - ruhsal - ideolojik bağlantılar ve daha benzerleri yer alır. Temelleri arayan düşünsel yaklaşım, matematiksel kılgıyı temeller cinsinden açıklamaya çalıştığı için tüm bunları yok sayabilir. Buna göre, matematik etkinlikleri özünde kümelerle ilgili gerçeklerin keşfedilmesi, belirleyici matematik paradigmasınca resmen onaylanmış kanıtların irdelenmesidir. Geri kalanlar ise konu dışı üstyapılardır. Temelleri çıkış noktası kabul eden yaklaşımların matematiğin kapsamlı bir felsefesini geliştirebilmesi oldukça olanaksız görünmektedir. Matematiği, çevresinden yalıtan bir anlayış ya da anlayışlar, kendi özellerinde olumlu bir takım sonuçlar elde etseler de matematiğin felsefesine katkıları, indirgemeci bir yelpazenin solgun renkleri içinde olacaktır. Matematiğin yaşamsal kılgısını yok sayarak felsefi boyutlar getirmek çok güçtür. Matematiğin felsefesini sağlayacak olan, sorunları ve çözümleri için verileriyle işte bu kılgıdır. Günlük yaşamdan bir örnek verecek olursak, hesap makinalarını göz önüne alabiliriz. Bir açının herhangi bir trigonometrik işlevdeki değerinin makinanın ekranında görülen karşılığı, sekiz ya da dokuz basamak kesinliktedir. Burada, sekiz ya da dokuz basamaktan sonraki basamakların da kesin olması kullanılan yaklaştırmanın özelliklerine bağlıdır. Yaklaştırma, başka bir deyişle bir işlevin değerini gerçek değerine yakın bir değerle elde etmek bilgisayarın özündeki felsefedir. Bu kapsamda; işlevlerin değişim hızı, limit, yakınsama, ıraksama gibi matematiksel kavram ve nesneleri ele alıyoruz. Böylece, hem matematiksel bilginin, hem de sezgisel müdahalenin insanın gündelik nefesinde buluştuğu bir arayüzey oluşmaktadır.
Bu sahneye yeniden baktığımızda, matematiğin felsefesi canlıdır. Araştırmayı yapan matematikçi, matematikçinin felsefi eğilimleri, bunu kullanan diğer araştırmacılar, uygulayanlar, öğretmenler ve öğrenciler birlikte yaşarlar bu canlılığı. Hangimiz matematikle tanışmamış olabilir? Hangimizin, matematikle iyi kötü bir anısı yoktur? Tüm dünyada matematiğin felsefesiyle ilgili bir tartışma olmasına rağmen tıkanan bazı önemli noktalar vardır. Şöyle toparlayabiliriz:
- Çalışan matematikçilerin, matematiğin felsefi boyutlarına ilişkin ortak düşünceleri birbirleriyle ve matematik çalışmayla ilgili günlük deneyim ve kılgıyla uyuşmazlık içindedir. Birçok kılgısal sorunların ve matematiğin karşılaştığı kördüğümlerin felsefi yönleri vardır. Matematik üzerine felsefi bir söylemin iyice oturtulmamış olmasının, öğretimde, öğrenimde, araştırmada ve toplumların kılgısal işlerinde gözlenebilir zararlı etki ve sonuçları vardır.
- Matematiğin felsefesinde bugün var olan çıkmaz, "matematiğin temellerini" ele alan geniş zaman aralığında Frege ve Russell’dan Brouver, Hilbert ve Gödel’e kadar yer alan birçok derin karşıtlığın kötü sonuçlarıdır. Tek tek ele alındığında birçok şey öğreneceğimiz bu düşün akımlarında sorun, indirgemeci ve yaşamdan kopuk yapılarında olmuştur. Üstelik gelenekselleşmiş bir etkileri ve düşünce dönüşümlerini teşvik etmeyen özellikleri vardır. Artık, biçimcilik, sezgicilik, mantıkçılık gibi "okulların" ötesine geçebilmektir. Onların tarihine yeniden geri dönerek, matematik ve felsefenin nasıl ele ele verdiklerinin köklerine inmeliyiz.
- Platonculuk ve biçimciliğin aksine, eğer matematiği kuşku duyulmaz gerçekliklerin kaynağı olarak kurmaktan vazgeçersek, matematiğin doğasını, insanın zihinsel etkinliğinin belirli bir çeşidi olarak ele alacağız demektir. İnsanlar tarafından yaratılan bir düşünceler dünyası vardır. Bu dünya onların paylaşılan bilinçlerinde bulunmaktadır. Özdeksel nesnelerin kendi özelliklerine sahip olduğu gibi, bu düşüncelerin de, nesnelce kendilerinin olan özellikleri vardır. Kanıtın ve karşıkanıtın yapılandırılması, bu düşüncelere ait özelliklerin keşfedilmesindeki devingen yöntemdir. Bu da, matematik denen bilgi dalıdır.
Kaynakça
- Science and Modern World, New American Library, 25, New York (1948)
- Goodman, N., "Mathematics as an Objective Science", American Mathematical Monthly, 86, 540, (1979).
- Davis, J. D., "Fidelity in Mathematics Discourse: Is One and One Really Two?", American Mathematical Monthly, 79(3), 252-263, (1972).
- Hersh, R., "Fresh Brezees in the Philosophy of Mathematics", American Mathematical Monthly, August - September, 590, (1995)
Prof. Dr. Beno Kuryel
Ege Üniversitesi Kimya Mühendisliği Bölümü Öğretim Üyesi